• Nếu L: Rm → Rn, thì hạt nhân của L là tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Trong ví dụ minh họa trên, nếu L là toán tử:

L ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 , − 4 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 ) {\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})} thì hạt nhân của L là tập nghiệm của hệ phương trình 2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 = 0 − 4 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}

• Cho C[0,1] là không gian vectơ của tất cả các hàm giá trị thực trên đoạn [0,1], và định nghĩa L: C[0,1] → R bởi quy ước

L ( f ) = f ( 0.3 ) . {\displaystyle L(f)=f(0.3){\text{.}}\,} Vậy thì hạt nhân của L chứa các hàm f ∈ C[0,1] sao cho f(0.3) = 0.

• Cho C∞(R) là không gian vectơ của các hàm khả vi vô hạn lần R → R, và cho D: C∞(R) → C∞(R) là toán tử vi phân:

D ( f ) = d f d x . {\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}} Vậy hạt nhân của D gồm tất cả các hàm số trong C∞(R) có đạo hàm bằng 0, tức là tập các hàm hằng.

• Cho R∞ là tích trực tiếp của vô hạn các bản sao của tập R, và cho s: R∞ → R∞ là toán tử dịch chuyển

s ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , … ) = ( x 2 , x 3 , x 4 , … ) . {\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ){\text{.}}} Vậy thì hạt nhân của s là không gian một chiều chứa các vectơ (x1, 0, 0, ...).

• Nếu V là một không gian tích trong và W là một không gian con, hạt nhân của phép chiếu trực giao V → W là phần bù trực giao của W trong V.